有限元法可以處理無法得到解析TPS852解的偏微分及積分問題。對于有限元法,將所求物理空間或物體進行有限個單元劃分,每個單元內(nèi)的場用簡單的多項式函數(shù)近似。對于所求物理場的偏微分及積分問題,例如磁感應(yīng)強度B,一般通過使用旋度或梯度表示的勢函數(shù)處理。

      在此以一維問題進一步闡述�？紤]關(guān)于勢函數(shù)∮的一維泊松方程,此勢函數(shù)∮可以是靜電場中的靜電勢,而ρ可以是電荷線密度。為了完全定義￠,還需要給定邊界條件,例如導(dǎo)數(shù)邊界條件,用有限元法求解方程(1.3.1)需要將整個空間(線空間)劃分為多個單元(線單元)。在每一個單元內(nèi)部勢函數(shù)用線性函數(shù)近似為整個空間內(nèi)勢函數(shù)是連續(xù)的,因此對于有兩個節(jié)點的線單元而言,每個節(jié)點被兩個相鄰單元共用。勢函數(shù)的導(dǎo)數(shù)未必是連續(xù)的,例如對電勢來說,不同單元的介電常數(shù)ε不同導(dǎo)致勢函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。公式的另一種簡化形式為如下節(jié)點形函數(shù),其中,￠l和燦為節(jié)點上的勢函數(shù)值。通過將整個空間進行離散化并用節(jié)點勢函數(shù)值描述.

      解的近似空間分布,再利用其他方法便可求解方程。使用比較多的方法有:變分法、最小乘方法和加杈余量法。其中加權(quán)余量法使用得最為廣泛,它通過下式求解近似解: 其中W為權(quán)函數(shù)。對于電磁場方程,迦遼金法更為適用。迦遼金法將每個單元內(nèi)的勢函數(shù)

用作權(quán)函數(shù)。方程(1.3.5)也被稱為強形式,因為它對勢函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有必須連續(xù)的限制,而方程(1.3,6)被稱為弱形式,它將導(dǎo)數(shù)的這一限制去除其中曰和8為方程的作用域。利用節(jié)點形函數(shù)使每一個從而建立關(guān)于全部節(jié)點的線性方程組用矩陣形式寫為其中,Κ為系數(shù)矩陣(在力學(xué)有限元分析中也被稱作剛性矩陣)為待求各節(jié)點的勢函數(shù).